Matemática discreta Ejemplos

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{4 y} - 2 = x$ .

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 y}$ como ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Paso 2.4.3.1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 2.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 2.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 2.4.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 2.4.3.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 2.5

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.5.3.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Paso 2.5.3.1.2

Divide $4$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.2

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.6

Evalúa el exponente.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.7

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Paso 4.2.4.1.7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.7.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.8

Aplica la regla del producto a $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.3

Divide ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.4

Reescribe ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.5

Expande $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.4.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.6.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.4.6.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.2

Simplifica $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.4

Reescribe $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ como $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.5

Reescribe $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ como $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.6.2

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Paso 4.2.4.8

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Paso 4.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.5.1

Resta $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Paso 4.2.5.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Paso 4.2.5.2.2

Suma $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Paso 4.3.3.1.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Paso 4.3.3.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Paso 4.3.3.1.4

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.3.1.5

Reescribe el polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Paso 4.3.3.1.6

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Paso 4.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Paso 4.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Paso 4.3.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Paso 4.3.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Paso 4.3.3.6

Combina $4$ y $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Paso 4.3.3.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.3.7.1

Reduce la expresión $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.3.7.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Paso 4.3.3.7.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Paso 4.3.3.7.2

Divide ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Paso 4.3.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$